В основе фамилий лежат прозвища Ряха, Ряша, Ряшиха.Вероятно, все они восходят к нарицательному ряха. Это слово утрачено литературным языком (ср. неряха), однако в северных говорах имеется однокоренное слово ряхаться — «наряжаться», «медлить, мешкать, копаться».
Вероятно, подобное прозвище могли дать либо человеку медлительному, либо аккуратному, соблюдающему порядок, любящему наряжаться.
Замена х на ш часто происходит перед е, и (ср. пух — пушинка, муха — мушиный, сухой — суше и т.п.).
Фамилия Ряшихин может восходить и к именованию матери Ряшиха — не исключено, что оно дано по прозвищу мужа: «жена Ряхи».
Это краткая история происхождения и значения фамилии Ряхин, Ряшин.